درسنامه آموزشی فصل پنجم حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی
درس 2: حدهای یک طرفه (حد چپ و حد راست)
در درس قبل دیدیم که تابع $f(x) = \sqrt {2 - x} $ در نقطهٔ 2 حد ندارد. (چون در هیچ همسایگی راست 2 تعریف نشده است.) ولی باتوجه به اینکه دامنهٔ این تابع بازهٔ $\left( { - \infty ,2} \right]$ میباشد میتوانیم رفتار تابع را در همسایگی چپ 2 بررسی نماییم. گاهی لازم است، رفتار تابع را وقتی متغیر $x$ با مقادیر بزرگتر از $a$ به $a$ نزدیک میشود یا وقتی متغییر $x$ با مقادیر کوچکتر از $a$ به $a$ نزدیک می شود بررسی و توصیف نماییم.
فعالیت (صفحه 123 کتاب درسی)
نمودار تابع $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
- x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt 2 \hfill \\
\,\,\,\,\,\,{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ بهصورت زیر است:
الف) اگر متغییر $x$ با مقادیر بزرگتر از 2 به 2 نزدیک شود آنگاه مقادیر $f(x)$ به عدد .... نزدیک میشوند.
ب) اگر $x$ با مقادیر کوچکتر از 2 به 2 نزدیک شود آنگاه مقادیر $f(x)$ به عدد .... نزدیک میشوند.
پ) آیا تابع $f$ در نقطهٔ $x = 2$ حد دارد؟
خواندنی
حتماً متوجه شدهاید که یخ همیشه بر روی آب شناور است. توده یخ هرچقدر بزرگ باشد، باز هم در آب غرق نمیشود؛ مانند کوههای بزرگ یخ که بر روی آب دریاها و اقیانوسها شناورند. آیا میدانید چرا یخ در آب غرق نمیشود؟
بهطور کلی وقتی مایعی به شکل جامد در میآید، منقبض میشود و مولکولهایش به هم نزدیکتر میشوند. به همین دلیل حجم ماده، کم میشود و چگالی آن افزایش مییابد. بنابراین مواد در حالت جامد سنگینتر از زمانیاند که به شکل مایع درآمدهاند.
ولی آب مایعی است که خاصیت غیرعادی دارد. آب پس از انجماد به جای منقبض شدن، منبسط میشود؛ درنتیجه حجمش افزایش مییابد. تراکم یخ نه دهم آب است؛ بهعبارت دیگر از نه لیتر آب ده لیتر یخ بهدست میآید. به همین جهت وزن یخ، کمتر از آب هم حجمش است. به این ترتیب وقتی یخ درون آب قرار میگیرد، تنها نه دهم آن در آب فرو میرود و 0/1 دیگرش بر روی آب شناور میماند.
نمودار چگالی آب و یخ برحسب دما بهصورت زیر است:
در فعالیت بالا، مشاهده کردیم که وقتی از سمت راست (با مقادیر بزرگتر از 2) به 2 نزدیک میشویم، مقادیر تابع به عدد 1 نزدیک میشوند و اگر از سمت چپ (با مقادیرکمتر از 2) به 2 نزدیک شویم مقادیر تابع به عدد 4 نزدیک میشوند. چون این دو مقدار با هم مساوی نیستند، پس وقتی $x$ در یک همسایگی محذوف 2 به عدد 2 نزدیک میشود، مقادیر $f(x)$ به عدد مشخصی نزدیک نمیشوند و درنتیجه این تابع در 2 حد ندارد.
اگر تابعی در یک همسایگی محذوف نقطهای مانند $a$، تعریف شده باشد، آنگاه با توجه به مفهوم حد راست و حد چپ میتوان گفت:
کاردرکلاس (صفحه 125 کتاب درسی)
1) با توجه به نمودار $f$، حدهای خواسته شده را، در صورت وجود، بهدست آورید.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = ....$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = ....$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = ....$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = ....$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = ....$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x) = ....$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f(x) = ....$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} f(x) = ....$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} f(x) = ....$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = ....$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = ....$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = ....$
2) نموداری از یک تابع رسم کنید که:
الف) در یک همسایگی محذوف 2 تعریف شده باشد و در این نقطه حد داشته باشد.
ب) در یک همسایگی محذوف 2 تعریف شده باشد ولی در این نقطه حد نداشته باشد.
پ) در یک همسایگی 2 تعریف شده باشد و در این نقطه حد نداشته باشد.
ت) در یک همسایگی 2 تعریف شده باشد و در این نقطه حد داشته باشد ولی حد آن با مقدار تابع در نقطه 2، یکسان نباشد.
فعالیت (صفحه 126 کتاب درسی)
1) نمودار تابع $f(x) = \left[ x \right]$ را در فاصله $\left[ { - 1,2} \right]$ رسم کنید.
2) اگر $x$ از طرف چپ به عدد 1 نزدیک شود، آنگاه مقادیر $f(x)$ به عدد .... نزدیک میشوند، بنابراین:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = ....$
3) حد راست تابع $f$ در نقطه $x = 1$ را بهدست آورید.
4) آیا تابع $f$ در نقطه $x = 1$ حد دارد؟ چرا؟
در فعالیت قبل مشاهده کردیم که در بازهٔ $(1,2)$ که یک همسایگی راست 1 میباشد نمودار تابع $f(x) = \left[ x \right]$ بر نمودار تابع ثابت $g(x) = 1$ منطبق است و داریم $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g(x) = 1$.
به همین ترتیب، در $(0,1)$ که یک همسایگی چپ 1 میباشد نمودار تابع $f(x) = \left[ x \right]$ بر نمودار تابع ثابت $h(x) = 0$ منطبق است و داریم $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h(x) = 0$.
مثال: مقدار حد راست تابع $f(x) = \frac{{\left[ x \right]}}{x}$ را در نقطهٔ $x = 0$ بهدست آورید.
حل: میدانیم روی بازهٔ $(0,1)$ مقدار $\left[ x \right]$ برابر صفر است، پس روی بازهٔ $(0,1)$ تابع $f$ با تابع ثابت $g(x) = 0$ برابر است بنابراین:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left[ x \right]}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g(x) = 0$
کاردرکلاس (صفحه 127 کتاب درسی)
1) تابع $f$ با ضابطه $f(x) = \frac{{\left| x \right|}}{x}$ را درنظر بگیرید:
الف) با استفاده از تعریف قدرمطلق، تابع $f$ را بهصورت دوضابطهای بنویسید.
ب) نمودار تابع $f$ را رسم کنید.
پ) با استفاده از نمودار $f$، حد چپ و حد راست تابع در صفر را بهدست آورید.
ت) آیا تابع $f$ در نقطهٔ صفر حد دارد؟ چرا؟
تمرین (صفحه 127 تا 129 کتاب درسی)
1) نمودار تابع $f$ بهصورت زیر است. حدهای زیر را در صورت وجود بهدست آورید.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)$ (الف
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)$ (ب
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f(x)$ (پ
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f(x)$ (ت
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x)$ (ث
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 8} f(x)$ (ج
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} f(x)$ (چ
2) با رسم نمودار تابع $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt 0 \hfill \\
{x^2} + 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ به سؤالات زیر پاسخ دهید:
الف) اگر $x$ از طرف چپ به عدد صفر نزدیک شود آنگاه مقادیر $f(x)$ به عدد ... نزدیک میشوند، بنابراین:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = ...$
ب) حد راست تابع $f$ در نقطهٔ $x = 0$ را بهدست آورید.
پ) آیا تابع $f$ در نقطهٔ $x = 0$ حد دارد؟ چرا؟
3) با توجه به نمودارهای توابع داده شده در زیر، هر کدام از گزارههای پایین صفحه در مورد چند تا از این توابع برقرار است؟ در هر مورد توابع را مشخص کنید.
- تابع در همسایگی محذوف 2 تعریف شده و در این نقطه حد دارد.
- تابع در همسایگی 2 تعریف شده و در این نقطه حد دارد ولی مقدار حد با مقدار تابع در این نقطه برابر نیست.
- تابع در همسایگی چپ 2 تعریف شده و در این نقطه حد ندارد.
- تابع در همسایگی 2 تعریف شده و در این نقطه حد دارد و حد آن برابر مقدار تابع در این نقطه است.
- تابع در نقطه 2 تعریف نشده ولی در این نقطه حد دارد.
- تابع در همسایگی راست 2 تعریف شده ولی در این نقطه حد ندارد.
4) با توجه به دامنه تابع، در مورد حد چپ تابع $f$ با ضابطه $f(x) = \sqrt {{x^2} - x} $ در نقطهٔ $x = 1$ چه میتوان گفت؟
5) با توجه به دامنه تابع، در مورد حد راست تابع $f(x) = \frac{x}{{\left[ x \right] - 2}}$ در نقطه $x = 2$ چه میتوان گفت؟
6) با رسم نمودار تابع $f(x) = - {(x - 1)^2} + 2$، حدود زیر را مشخص کنید.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f(x)} \right]$ (الف
$\left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)} \right]$ (ب
($\left[ {} \right]$ نماد جزء صحیح است)
7) با رسم نمودار تابع $f(x) = \left| x \right|$:
الف) مقدار $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| x \right|$ را بهدست آورید.
ب) اگر $a \in \mathbb{R}$ یک عدد دلخواه باشد آیا تساوی $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left| x \right| = \left| a \right|$ برقرار است؟